Bonjour,
On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
on calcule
X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
j=1..K
J'ai fait une simulation, qui donne
p ~= 3,7*10^-7 (seul l'ordre de grandeur est sur)
La source du problème (section E.6 page 30 de [trngk31e])
indique
p ~= 3,8*10^-7
et explique que l'on obtient ce résultat en considérant que X
suit une distribution du "khideux" avec 15 degrés de liberté,
citant [Ka].
Pourtant, avec cette hypothèse, on obtient
p ~= 3,4*10^-8
Par exemple avec Excel =LOI.KHIDEUX(65;15)
Il me semble plausible que, compte tenu de la probabilité
très faible considérée, et/ou du petit N/K, l'hypothèse
d'une distribution du "khideux" soit complètement fausse.
Mais, mis à part une simulation, comment faire ?
Bonjour,
On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
on calcule
X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
j=1..K
J'ai fait une simulation, qui donne
p ~= 3,7*10^-7 (seul l'ordre de grandeur est sur)
La source du problème (section E.6 page 30 de [trngk31e])
indique
p ~= 3,8*10^-7
et explique que l'on obtient ce résultat en considérant que X
suit une distribution du "khideux" avec 15 degrés de liberté,
citant [Ka].
Pourtant, avec cette hypothèse, on obtient
p ~= 3,4*10^-8
Par exemple avec Excel =LOI.KHIDEUX(65;15)
Il me semble plausible que, compte tenu de la probabilité
très faible considérée, et/ou du petit N/K, l'hypothèse
d'une distribution du "khideux" soit complètement fausse.
Mais, mis à part une simulation, comment faire ?
Bonjour,
On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
on calcule
X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
j=1..K
J'ai fait une simulation, qui donne
p ~= 3,7*10^-7 (seul l'ordre de grandeur est sur)
La source du problème (section E.6 page 30 de [trngk31e])
indique
p ~= 3,8*10^-7
et explique que l'on obtient ce résultat en considérant que X
suit une distribution du "khideux" avec 15 degrés de liberté,
citant [Ka].
Pourtant, avec cette hypothèse, on obtient
p ~= 3,4*10^-8
Par exemple avec Excel =LOI.KHIDEUX(65;15)
Il me semble plausible que, compte tenu de la probabilité
très faible considérée, et/ou du petit N/K, l'hypothèse
d'une distribution du "khideux" soit complètement fausse.
Mais, mis à part une simulation, comment faire ?
"Francois Grieu" a écrit dans le message de news:
> On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
> on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
> on calcule
>
> X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
> j=1..K
En toute rigueur X converge vers une variable "khideux" lorsque N tend
vers l'infini, mais ne suit pas exactemement une loi du "khideux" pour N
fixé.
On admet en pratique que X suit une loi du "khideux" lorsque les Mj sont
tous supérieurs à 10, parfois même lorsque les Mj sont tous supérieurs à
5 , ce qui est le cas de cet exemple.
C'est vrai que N/K=5 est un cas limite pour considérer que X suit
approximativement une loi du "khideux" , cependant pas tres éloigné du
domaine d'application habituel.
> Mais, mis à part une simulation, comment faire ?
On doit de toute façon s'en contenter car la loi de X n'est pas connue
( Les Mj ne sont pas indépendantes leur somme est N...dommage !!)
"Francois Grieu" <fgrieu@gmail.com> a écrit dans le message de news:
fgrieu-14E62E.07212530102008@news-3.proxad.net...
> On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
> on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
> on calcule
>
> X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
> j=1..K
En toute rigueur X converge vers une variable "khideux" lorsque N tend
vers l'infini, mais ne suit pas exactemement une loi du "khideux" pour N
fixé.
On admet en pratique que X suit une loi du "khideux" lorsque les Mj sont
tous supérieurs à 10, parfois même lorsque les Mj sont tous supérieurs à
5 , ce qui est le cas de cet exemple.
C'est vrai que N/K=5 est un cas limite pour considérer que X suit
approximativement une loi du "khideux" , cependant pas tres éloigné du
domaine d'application habituel.
> Mais, mis à part une simulation, comment faire ?
On doit de toute façon s'en contenter car la loi de X n'est pas connue
( Les Mj ne sont pas indépendantes leur somme est N...dommage !!)
"Francois Grieu" a écrit dans le message de news:
> On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
> on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
> on calcule
>
> X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
> j=1..K
En toute rigueur X converge vers une variable "khideux" lorsque N tend
vers l'infini, mais ne suit pas exactemement une loi du "khideux" pour N
fixé.
On admet en pratique que X suit une loi du "khideux" lorsque les Mj sont
tous supérieurs à 10, parfois même lorsque les Mj sont tous supérieurs à
5 , ce qui est le cas de cet exemple.
C'est vrai que N/K=5 est un cas limite pour considérer que X suit
approximativement une loi du "khideux" , cependant pas tres éloigné du
domaine d'application habituel.
> Mais, mis à part une simulation, comment faire ?
On doit de toute façon s'en contenter car la loi de X n'est pas connue
( Les Mj ne sont pas indépendantes leur somme est N...dommage !!)
> On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
> on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
> on calcule
>
> X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
> j=1..K
Rappel: On demande la probabilité p(65) que X>65 (événement
improbable correspondant à une distribution irrégulière des Mj).
L'hypothèse standard d'une distribution "khideux" donne un résultat
faux par un facteur plus de 10 (3,4*10^-8 au lieu de 3,8*10^-7).
Pour de très petits N je parviens à calculer le distribution
exacte (sans simulation).
Pour N plus grand, je sèche, mais je
ne déserpère par d'avoir la distribution exacte pour N€
et les grands X, ce qui m'intéresse
> On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
> on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
> on calcule
>
> X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
> j=1..K
Rappel: On demande la probabilité p(65) que X>65 (événement
improbable correspondant à une distribution irrégulière des Mj).
L'hypothèse standard d'une distribution "khideux" donne un résultat
faux par un facteur plus de 10 (3,4*10^-8 au lieu de 3,8*10^-7).
Pour de très petits N je parviens à calculer le distribution
exacte (sans simulation).
Pour N plus grand, je sèche, mais je
ne déserpère par d'avoir la distribution exacte pour N€
et les grands X, ce qui m'intéresse
> On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
> on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
> on calcule
>
> X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
> j=1..K
Rappel: On demande la probabilité p(65) que X>65 (événement
improbable correspondant à une distribution irrégulière des Mj).
L'hypothèse standard d'une distribution "khideux" donne un résultat
faux par un facteur plus de 10 (3,4*10^-8 au lieu de 3,8*10^-7).
Pour de très petits N je parviens à calculer le distribution
exacte (sans simulation).
Pour N plus grand, je sèche, mais je
ne déserpère par d'avoir la distribution exacte pour N€
et les grands X, ce qui m'intéresse
"Francois Grieu" a écritOn tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
on calcule
X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
j=1..K
Rappel: On demande la probabilité p(65) que X>65 (événement
improbable correspondant à une distribution irrégulière des Mj).
[...]Pour de très petits N je parviens à calculer le distribution
exacte (sans simulation).
Quelle est la loi de X pour N=3 par exemple?
( Les Mj suivent des loi binomiales NON indépendantes)
Pour N plus grand, je sèche, mais je
ne déserpère par d'avoir la distribution exacte pour N€
Alors là , je doute fort que vous obteniez la distribution exacte de X.et les grands X, ce qui m'intéresse
ne veut rien dire ...
Bon courage, :-)
"Francois Grieu" <fgrieu@gmail.com> a écrit
On tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
on calcule
X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
j=1..K
Rappel: On demande la probabilité p(65) que X>65 (événement
improbable correspondant à une distribution irrégulière des Mj).
[...]
Pour de très petits N je parviens à calculer le distribution
exacte (sans simulation).
Quelle est la loi de X pour N=3 par exemple?
( Les Mj suivent des loi binomiales NON indépendantes)
Pour N plus grand, je sèche, mais je
ne déserpère par d'avoir la distribution exacte pour N€
Alors là , je doute fort que vous obteniez la distribution exacte de X.
et les grands X, ce qui m'intéresse
ne veut rien dire ...
Bon courage, :-)
"Francois Grieu" a écritOn tire N€ fois un entier supposé équidistribué de 1 à K;
on compte le nombre Mj d'occurrences de chaque valeur;
on calcule
X = Somme (Mj - N/K)^2 * K/N
j=1..K
Rappel: On demande la probabilité p(65) que X>65 (événement
improbable correspondant à une distribution irrégulière des Mj).
[...]Pour de très petits N je parviens à calculer le distribution
exacte (sans simulation).
Quelle est la loi de X pour N=3 par exemple?
( Les Mj suivent des loi binomiales NON indépendantes)
Pour N plus grand, je sèche, mais je
ne déserpère par d'avoir la distribution exacte pour N€
Alors là , je doute fort que vous obteniez la distribution exacte de X.et les grands X, ce qui m'intéresse
ne veut rien dire ...
Bon courage, :-)
"Acetonik" a écrit:
Précisons: pour N€, je désespère (pour l'instant) de calculer
tout le tableau, mais je peux calculer le haut, par X décroissant
M0€ => X00 probabilité 1/2^316
M0y M1=1 => X68+2/5 probabilité 240/2^316
M0x M1=2 => X37+3/5 probabilité ...
M0x M1=1 M2=1 => X37+1/5 probabilité ...
"Acetonik" <acetonik@wanadoo.invalid> a écrit:
Précisons: pour N€, je désespère (pour l'instant) de calculer
tout le tableau, mais je peux calculer le haut, par X décroissant
M0€ => X00 probabilité 1/2^316
M0y M1=1 => X68+2/5 probabilité 240/2^316
M0x M1=2 => X37+3/5 probabilité ...
M0x M1=1 M2=1 => X37+1/5 probabilité ...
"Acetonik" a écrit:
Précisons: pour N€, je désespère (pour l'instant) de calculer
tout le tableau, mais je peux calculer le haut, par X décroissant
M0€ => X00 probabilité 1/2^316
M0y M1=1 => X68+2/5 probabilité 240/2^316
M0x M1=2 => X37+3/5 probabilité ...
M0x M1=1 M2=1 => X37+1/5 probabilité ...
j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres posi tives
à l équation m1+m2+......+m16 = 80
résultat obtenu par la formule classique :http://www.bibmath.net/dico/i ndex.php3?action¯fiche&quoi=./c/combir...
Prévoyez un super calculateur pour trouver tous les cas donnant X>65
....!!!
j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres posi tives
à l équation m1+m2+......+m16 = 80
résultat obtenu par la formule classique :http://www.bibmath.net/dico/i ndex.php3?action=affiche&quoi=./c/combir...
Prévoyez un super calculateur pour trouver tous les cas donnant X>65
....!!!
j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres posi tives
à l équation m1+m2+......+m16 = 80
résultat obtenu par la formule classique :http://www.bibmath.net/dico/i ndex.php3?action¯fiche&quoi=./c/combir...
Prévoyez un super calculateur pour trouver tous les cas donnant X>65
....!!!
>j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres positives
- on peut se restreindre aux solutions avec m1>=m2>=m3..>=m16, ce qui
gagne 13 ordres de grandeur;
- et on n'est intéressé que par les solutions qui donnent X>65, ce qui
gagne encore 6 ordres de grandeur
>j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres positives
- on peut se restreindre aux solutions avec m1>=m2>=m3..>=m16, ce qui
gagne 13 ordres de grandeur;
- et on n'est intéressé que par les solutions qui donnent X>65, ce qui
gagne encore 6 ordres de grandeur
>j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres positives
- on peut se restreindre aux solutions avec m1>=m2>=m3..>=m16, ce qui
gagne 13 ordres de grandeur;
- et on n'est intéressé que par les solutions qui donnent X>65, ce qui
gagne encore 6 ordres de grandeur
"Francois Grieu" a écrit dans le message de news:
"Acetonik" a écrit:j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres positives
En réalité il faut envisager encore bien plus de 16-uplets pour ne retenir
que les solutions qui conviennent même si l'on peut forcer quelques boucles
à se terminer sous certaines conditions ....
- on peut se restreindre aux solutions avec M1>=M2>=M3..>=M16, ce qui
gagne 13 ordres de grandeur;
Oui, mais il faut alors tester le nombre de répétions des Mj (et
ces test prennent du temps!!)
on obtient par exemple: en tenant compte de l'ordre:
avec ordre w1=(28,10,10,5,5,5,5,2,2,2,1,1,1,1,1,1)
p(w1)== 80! / (28!10!10!5!5!5!5!2!2!2!1!1!1!1!1.1!)*( 1/16)^80
et
sans ordre w2={28,10,10,5,5,5,5,2,2,2,1,1,1,1,1,1}
p(w2)== 16!/ (1!2!4!3!6!)*p(w1)
- et on n'est intéressé que par les solutions qui donnent X>65, ce qui
gagne encore 6 ordres de grandeur
Oui mais il faut trier les (m1,m2,....m16) qui donnent X>65 de façon
efficace...
Toujours pour K, j'obtiens P(X>65) en valeur exacte, pour les valeurs :
N= 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 ( en moins de 2 heures pour N).
Le temps de calcul est en gros multiplié par 2 à chaque valeur suivante de N
par exemple:
N p(X>65) 887189 / 4398046511104 = 4,749196933*10^-6
N p(X>65)8098927 / 35184372088832 = 3,925007576*10^-6
Il semble bien qu'il soit impossible d'envisager d'aller jusqu'à N€...
(cela me rappelle un peu le problème des grains de blé sur l'échiquier)
Je serais d'ailleurs curieux de savoir jusqu'à quelle valeur de N vous
pouvez aller en un temps raisonnable, disons en gros 2 heures , sachant que
cela dépend bien sûr des processeurs (1733Mhz pour moi)
"Francois Grieu" <fgrieu@gmail.com> a écrit dans le message de news:
17e5f820-1eda-408b-ae46-c90be3b0d5fd@u29g2000pro.googlegroups.com...
"Acetonik" a écrit:
j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres positives
En réalité il faut envisager encore bien plus de 16-uplets pour ne retenir
que les solutions qui conviennent même si l'on peut forcer quelques boucles
à se terminer sous certaines conditions ....
- on peut se restreindre aux solutions avec M1>=M2>=M3..>=M16, ce qui
gagne 13 ordres de grandeur;
Oui, mais il faut alors tester le nombre de répétions des Mj (et
ces test prennent du temps!!)
on obtient par exemple: en tenant compte de l'ordre:
avec ordre w1=(28,10,10,5,5,5,5,2,2,2,1,1,1,1,1,1)
p(w1)== 80! / (28!10!10!5!5!5!5!2!2!2!1!1!1!1!1.1!)*( 1/16)^80
et
sans ordre w2={28,10,10,5,5,5,5,2,2,2,1,1,1,1,1,1}
p(w2)== 16!/ (1!2!4!3!6!)*p(w1)
- et on n'est intéressé que par les solutions qui donnent X>65, ce qui
gagne encore 6 ordres de grandeur
Oui mais il faut trier les (m1,m2,....m16) qui donnent X>65 de façon
efficace...
Toujours pour K, j'obtiens P(X>65) en valeur exacte, pour les valeurs :
N= 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 ( en moins de 2 heures pour N).
Le temps de calcul est en gros multiplié par 2 à chaque valeur suivante de N
par exemple:
N p(X>65) 887189 / 4398046511104 = 4,749196933*10^-6
N p(X>65)8098927 / 35184372088832 = 3,925007576*10^-6
Il semble bien qu'il soit impossible d'envisager d'aller jusqu'à N€...
(cela me rappelle un peu le problème des grains de blé sur l'échiquier)
Je serais d'ailleurs curieux de savoir jusqu'à quelle valeur de N vous
pouvez aller en un temps raisonnable, disons en gros 2 heures , sachant que
cela dépend bien sûr des processeurs (1733Mhz pour moi)
"Francois Grieu" a écrit dans le message de news:
"Acetonik" a écrit:j'ajoute qu'il y a 110 375 347 398 090 219 solutions entieres positives
En réalité il faut envisager encore bien plus de 16-uplets pour ne retenir
que les solutions qui conviennent même si l'on peut forcer quelques boucles
à se terminer sous certaines conditions ....
- on peut se restreindre aux solutions avec M1>=M2>=M3..>=M16, ce qui
gagne 13 ordres de grandeur;
Oui, mais il faut alors tester le nombre de répétions des Mj (et
ces test prennent du temps!!)
on obtient par exemple: en tenant compte de l'ordre:
avec ordre w1=(28,10,10,5,5,5,5,2,2,2,1,1,1,1,1,1)
p(w1)== 80! / (28!10!10!5!5!5!5!2!2!2!1!1!1!1!1.1!)*( 1/16)^80
et
sans ordre w2={28,10,10,5,5,5,5,2,2,2,1,1,1,1,1,1}
p(w2)== 16!/ (1!2!4!3!6!)*p(w1)
- et on n'est intéressé que par les solutions qui donnent X>65, ce qui
gagne encore 6 ordres de grandeur
Oui mais il faut trier les (m1,m2,....m16) qui donnent X>65 de façon
efficace...
Toujours pour K, j'obtiens P(X>65) en valeur exacte, pour les valeurs :
N= 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 ( en moins de 2 heures pour N).
Le temps de calcul est en gros multiplié par 2 à chaque valeur suivante de N
par exemple:
N p(X>65) 887189 / 4398046511104 = 4,749196933*10^-6
N p(X>65)8098927 / 35184372088832 = 3,925007576*10^-6
Il semble bien qu'il soit impossible d'envisager d'aller jusqu'à N€...
(cela me rappelle un peu le problème des grains de blé sur l'échiquier)
Je serais d'ailleurs curieux de savoir jusqu'à quelle valeur de N vous
pouvez aller en un temps raisonnable, disons en gros 2 heures , sachant que
cela dépend bien sûr des processeurs (1733Mhz pour moi)